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Found 146 declarations mentioning Fin.cons.

• Fin.range_cons 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {α : Type u_1} {n : ℕ} (x : α) (b : Fin n → α) : Set.range (Fin.cons x b) = insert x (Set.range b)
• Fin.cons_injective_of_injective 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Type u_1} {x₀ : α} {x : Fin n → α} (hx₀ : x₀ ∉ Set.range x) (hx : Function.Injective x) : Function.Injective (Fin.cons x₀ x)
• Fin.cons_comp_succ 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Sort u_1} (x : α) (p : Fin n → α) : Fin.cons x p ∘ Fin.succ = p
• Fin.cons_injective_iff 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Type u_1} {x₀ : α} {x : Fin n → α} : Function.Injective (Fin.cons x₀ x) ↔ x₀ ∉ Set.range x ∧ Function.Injective x
• Fin.consInduction 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {α : Sort u_1} {motive : {n : ℕ} → (Fin n → α) → Sort v} (elim0 : motive Fin.elim0) (cons : {n : ℕ} → (x₀ : α) → (x : Fin n → α) → motive x → motive (Fin.cons x₀ x)) {n : ℕ} (x : Fin n → α) : motive x
• Fin.cons 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Sort u} (x : α 0) (p : (i : Fin n) → α i.succ) (i : Fin (n + 1)) : α i
• Fin.tail_cons 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Sort u} (x : α 0) (p : (i : Fin n) → α i.succ) : Fin.tail (Fin.cons x p) = p
• Fin.cons_rev 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {α : Sort u_3} {n : ℕ} (a : α) (f : Fin n → α) (i : Fin (n + 1)) : Fin.cons a f i.rev = Fin.snoc (f ∘ Fin.rev) a i
• Fin.cons_succ 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Sort u} (x : α 0) (p : (i : Fin n) → α i.succ) (i : Fin n) : Fin.cons x p i.succ = p i
• Fin.snoc_rev 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {α : Sort u_3} {n : ℕ} (a : α) (f : Fin n → α) (i : Fin (n + 1)) : Fin.snoc f a i.rev = Fin.cons a (f ∘ Fin.rev) i
• Fin.consCases 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Sort u} {motive : ((i : Fin n.succ) → α i) → Sort v} (cons : (x₀ : α 0) → (x : (i : Fin n) → α i.succ) → motive (Fin.cons x₀ x)) (x : (i : Fin n.succ) → α i) : motive x
• Fin.cons_injective2 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Sort u} : Function.Injective2 Fin.cons
• Fin.comp_cons 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Sort u_1} {β : Sort u_2} (g : α → β) (y : α) (q : Fin n → α) : g ∘ Fin.cons y q = Fin.cons (g y) (g ∘ q)
• Fin.cons_right_injective 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Sort u} (x₀ : α 0) : Function.Injective (Fin.cons x₀)
• Fin.cons_self_tail 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Sort u} (q : (i : Fin (n + 1)) → α i) : Fin.cons (q 0) (Fin.tail q) = q
• Fin.snoc_eq_append 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Sort u_2} (xs : Fin n → α) (x : α) : Fin.snoc xs x = Fin.append xs (Fin.cons x Fin.elim0)
• Fin.insertNth_zero' 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {β : Sort u_2} (x : β) (p : Fin n → β) : Fin.insertNth 0 x p = Fin.cons x p
• Fin.forall_fin_succ_pi 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Sort u} {P : ((i : Fin (n + 1)) → α i) → Prop} : (∀ (x : (i : Fin (n + 1)) → α i), P x) ↔ ∀ (a : α 0) (v : (i : Fin n) → α i.succ), P (Fin.cons a v)
• Fin.cons_comp_rev 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {α : Sort u_3} {n : ℕ} (a : α) (f : Fin n → α) : Fin.cons a f ∘ Fin.rev = Fin.snoc (f ∘ Fin.rev) a
• Fin.snoc_comp_rev 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {α : Sort u_3} {n : ℕ} (a : α) (f : Fin n → α) : Fin.snoc f a ∘ Fin.rev = Fin.cons a (f ∘ Fin.rev)
• Fin.cons_snoc_eq_snoc_cons 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {β : Sort u_2} (a : β) (q : Fin n → β) (b : β) : Fin.cons a (Fin.snoc q b) = Fin.snoc (Fin.cons a q) b
• Fin.cons_last 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 2) → Sort u_1} (x : α 0) (p : (i : Fin n.succ) → α i.succ) : Fin.cons x p (Fin.last (n + 1)) = p (Fin.last n)
• Fin.cons_zero_succ 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} : Fin.cons 0 Fin.succ = id
• Fin.cons_left_injective 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Sort u} (x : (i : Fin n) → α i.succ) : Function.Injective fun x₀ => Fin.cons x₀ x
• Fin.append_left_eq_cons 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {α : Sort u_1} {n : ℕ} (x₀ : Fin 1 → α) (x : Fin n → α) : Fin.append x₀ x = Fin.cons (x₀ 0) x ∘ Fin.cast ⋯
• Fin.cons_update 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Sort u} (x : α 0) (p : (i : Fin n) → α i.succ) (i : Fin n) (y : α i.succ) : Fin.cons x (Function.update p i y) = Function.update (Fin.cons x p) i.succ y
• Fin.exists_cons 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Type u_1} (q : (i : Fin (n + 1)) → α i) : ∃ x₀ x, q = Fin.cons x₀ x
• Fin.cons_zero 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Sort u} (x : α 0) (p : (i : Fin n) → α i.succ) : Fin.cons x p 0 = x
• Fin.consCases_cons 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Sort u} {motive : ((i : Fin n.succ) → α i) → Sort v} (cons : (x₀ : α 0) → (x : (i : Fin n) → α i.succ) → motive (Fin.cons x₀ x)) (x₀ : α 0) (x : (i : Fin n) → α i.succ) : Fin.consCases cons (Fin.cons x₀ x) = cons x₀ x
• Fin.insertNth_succ_cons 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Sort u_3} (i : Fin (n + 1)) (x a : α) (p : Fin n → α) : i.succ.insertNth x (Fin.cons a p) = Fin.cons a (i.insertNth x p)
• Fin.append_left_snoc 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n m : ℕ} {α : Sort u_2} (xs : Fin n → α) (x : α) (ys : Fin m → α) : Fin.append (Fin.snoc xs x) ys = Fin.append xs (Fin.cons x ys) ∘ Fin.cast ⋯
• Fin.exists_fin_succ_pi 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Sort u} {P : ((i : Fin (n + 1)) → α i) → Prop} : (∃ x, P x) ↔ ∃ a v, P (Fin.cons a v)
• Fin.append_right_cons 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n m : ℕ} {α : Sort u_2} (xs : Fin n → α) (y : α) (ys : Fin m → α) : Fin.append xs (Fin.cons y ys) = Fin.append (Fin.snoc xs y) ys ∘ Fin.cast ⋯
• Fin.cons_comp_succ_succAbove 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {β : Sort u_2} (x : β) (p : Fin (n + 1) → β) (i : Fin (n + 1)) : Fin.cons x p ∘ i.succ.succAbove = Fin.cons x (i.removeNth p)
• Fin.cons_inj 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Sort u} {x₀ y₀ : α 0} {x y : (i : Fin n) → α i.succ} : Fin.cons x₀ x = Fin.cons y₀ y ↔ x₀ = y₀ ∧ x = y
• Fin.append_cons 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {m n : ℕ} {α : Sort u_2} (a : α) (as : Fin n → α) (bs : Fin m → α) : Fin.append (Fin.cons a as) bs = Fin.cons a (Fin.append as bs) ∘ Fin.cast ⋯
• Fin.update_cons_zero 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Sort u} (x : α 0) (p : (i : Fin n) → α i.succ) (z : α 0) : Function.update (Fin.cons x p) 0 z = Fin.cons z p
• Fin.cons_eq_append 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Sort u_1} (x : α) (xs : Fin n → α) : Fin.cons x xs = Fin.append (Fin.cons x Fin.elim0) xs ∘ Fin.cast ⋯
• Fin.cons_one 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 2) → Sort u_1} (x : α 0) (p : (i : Fin n.succ) → α i.succ) : Fin.cons x p 1 = p 0
• Fin.cons_le_cons 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Type u_1} [(i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)] {x₀ y₀ : α 0} {x y : (i : Fin n) → α i.succ} : Fin.cons x₀ x ≤ Fin.cons y₀ y ↔ x₀ ≤ y₀ ∧ x ≤ y
• Fin.cons_le 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Type u_1} [(i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)] {x : α 0} {q : (i : Fin (n + 1)) → α i} {p : (i : Fin n) → α i.succ} : Fin.cons x p ≤ q ↔ x ≤ q 0 ∧ p ≤ Fin.tail q
• Fin.insertNth_zero 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Sort u_1} (x : α 0) (p : (j : Fin n) → α (Fin.succAbove 0 j)) : Fin.insertNth 0 x p = Fin.cons x fun j => cast ⋯ (p j)
• Fin.le_cons 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Type u_1} [(i : Fin (n + 1)) → Preorder (α i)] {x : α 0} {q : (i : Fin (n + 1)) → α i} {p : (i : Fin n) → α i.succ} : q ≤ Fin.cons x p ↔ q 0 ≤ x ∧ Fin.tail q ≤ p
• Fin.consEquiv_apply 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  {n : ℕ} (α : Fin (n + 1) → Type u_1) (f : α 0 × ((i : Fin n) → α i.succ)) (i : Fin (n + 1)) : (Fin.consEquiv α) f i = Fin.cons f.1 f.2 i
• piFinTwoEquiv_symm_apply 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Basic
  (α : Fin 2 → Type u) : ⇑(piFinTwoEquiv α).symm = fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)
• List.ofFn_cons 📋 Mathlib.Data.List.OfFn
  {α : Type u} {n : ℕ} (a : α) (f : Fin n → α) : List.ofFn (Fin.cons a f) = a :: List.ofFn f
• Set.iUnion_cons 📋 Mathlib.Data.Fintype.Pi
  {α : Type u_1} {n : ℕ} (f : Fin n → Set α) (s : Set α) : Set.iUnion (Fin.cons s f) = s ∪ ⋃ i, f i
• Matrix.Fin.cons_vecEmpty 📋 Mathlib.Data.Fin.VecNotation
  {α : Type u_1} (x : α) : Fin.cons x ![] = ![x]
• Matrix.Fin.cons_vecCons 📋 Mathlib.Data.Fin.VecNotation
  {n : ℕ} {α : Type u_1} (x y : α) (p : Fin n → α) : Fin.cons x (Matrix.vecCons y p) = Matrix.vecCons x (Matrix.vecCons y p)
• Fin.preimage_apply_01_prod 📋 Mathlib.Logic.Equiv.Fin.Basic
  {α : Fin 2 → Type u} (s : Set (α 0)) (t : Set (α 1)) : (fun f => (f 0, f 1)) ⁻¹' s ×ˢ t = Set.univ.pi (Fin.cons s (Fin.cons t finZeroElim))
• prodEquivPiFinTwo_symm_apply 📋 Mathlib.Logic.Equiv.Fin.Basic
  (α β : Type u) : ⇑(prodEquivPiFinTwo α β).symm = fun f => (f 0, f 1)
• Equiv.coe_embeddingFinSucc_symm 📋 Mathlib.Logic.Equiv.Fin.Basic
  {n : ℕ} {ι : Type u_1} (f : (e : Fin n ↪ ι) × { i // i ∉ Set.range ⇑e }) : ⇑((Equiv.embeddingFinSucc n ι).symm f) = Fin.cons ↑f.snd ⇑f.fst
• prodEquivPiFinTwo_apply 📋 Mathlib.Logic.Equiv.Fin.Basic
  (α β : Type u) : ⇑(prodEquivPiFinTwo α β) = fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)
• Fin.prod_cons 📋 Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin
  {M : Type u_2} [CommMonoid M] {n : ℕ} (x : M) (f : Fin n → M) : ∏ i, Fin.cons x f i = x * ∏ i, f i
• Fin.sum_cons 📋 Mathlib.Algebra.BigOperators.Fin
  {M : Type u_2} [AddCommMonoid M] {n : ℕ} (x : M) (f : Fin n → M) : ∑ i, Fin.cons x f i = x + ∑ i, f i
• Fin.snoc_eq_cons_rotate 📋 Mathlib.Logic.Equiv.Fin.Rotate
  {n : ℕ} {α : Type u_1} (v : Fin n → α) (a : α) : Fin.snoc v a = fun i => Fin.cons a v ((finRotate (n + 1)) i)
• LinearIndependent.finCons' 📋 Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Basic
  {R : Type u_2} {M : Type u_4} [Ring R] [AddCommGroup M] [Module R M] {m : ℕ} (x : M) (v : Fin m → M) (hli : LinearIndependent R v) (x_ortho : ∀ (c : R), ∀ y ∈ Submodule.span R (Set.range v), c • x + y = 0 → c = 0) : LinearIndependent R (Fin.cons x v)
• LinearIndependent.fin_cons' 📋 Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Basic
  {R : Type u_2} {M : Type u_4} [Ring R] [AddCommGroup M] [Module R M] {m : ℕ} (x : M) (v : Fin m → M) (hli : LinearIndependent R v) (x_ortho : ∀ (c : R), ∀ y ∈ Submodule.span R (Set.range v), c • x + y = 0 → c = 0) : LinearIndependent R (Fin.cons x v)
• LinearEquiv.piFinTwo_symm_apply 📋 Mathlib.LinearAlgebra.Pi
  (R : Type u) [Semiring R] (M : Fin 2 → Type v) [(i : Fin 2) → AddCommMonoid (M i)] [(i : Fin 2) → Module R (M i)] : ⇑(LinearEquiv.piFinTwo R M).symm = fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)
• LinearIndependent.finCons 📋 Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas
  {K : Type u_3} {V : Type u} [DivisionRing K] [AddCommGroup V] [Module K V] {x : V} {n : ℕ} {v : Fin n → V} (hv : LinearIndependent K v) (hx : x ∉ Submodule.span K (Set.range v)) : LinearIndependent K (Fin.cons x v)
• LinearIndependent.fin_cons 📋 Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas
  {K : Type u_3} {V : Type u} [DivisionRing K] [AddCommGroup V] [Module K V] {x : V} {n : ℕ} {v : Fin n → V} (hv : LinearIndependent K v) (hx : x ∉ Submodule.span K (Set.range v)) : LinearIndependent K (Fin.cons x v)
• linearIndependent_finCons 📋 Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas
  {K : Type u_3} {V : Type u} [DivisionRing K] [AddCommGroup V] [Module K V] {x : V} {n : ℕ} {v : Fin n → V} : LinearIndependent K (Fin.cons x v) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ Submodule.span K (Set.range v)
• linearIndependent_fin_cons 📋 Mathlib.LinearAlgebra.LinearIndependent.Lemmas
  {K : Type u_3} {V : Type u} [DivisionRing K] [AddCommGroup V] [Module K V] {x : V} {n : ℕ} {v : Fin n → V} : LinearIndependent K (Fin.cons x v) ↔ LinearIndependent K v ∧ x ∉ Submodule.span K (Set.range v)
• Module.Basis.coe_mkFinCons 📋 Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Fin
  {R : Type u_3} {M : Type u_5} [Ring R] [AddCommGroup M] [Module R M] {n : ℕ} {N : Submodule R M} (y : M) (b : Module.Basis (Fin n) R ↥N) (hli : ∀ (c : R), ∀ x ∈ N, c • y + x = 0 → c = 0) (hsp : ∀ (z : M), ∃ c, z + c • y ∈ N) : ⇑(Module.Basis.mkFinCons y b hli hsp) = Fin.cons y (Subtype.val ∘ ⇑b)
• Module.Basis.coe_mkFinConsOfLE 📋 Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Fin
  {R : Type u_3} {M : Type u_5} [Ring R] [AddCommGroup M] [Module R M] {n : ℕ} {N O : Submodule R M} (y : M) (yO : y ∈ O) (b : Module.Basis (Fin n) R ↥N) (hNO : N ≤ O) (hli : ∀ (c : R), ∀ x ∈ N, c • y + x = 0 → c = 0) (hsp : ∀ z ∈ O, ∃ c, z + c • y ∈ N) : ⇑(Module.Basis.mkFinConsOfLE y yO b hNO hli hsp) = Fin.cons ⟨y, yO⟩ (⇑(Submodule.inclusion hNO) ∘ ⇑b)
• MvPolynomial.eval_eq_eval_mv_eval' 📋 Mathlib.Algebra.MvPolynomial.Equiv
  {R : Type u} [CommSemiring R] {n : ℕ} (s : Fin n → R) (y : R) (f : MvPolynomial (Fin (n + 1)) R) : (MvPolynomial.eval (Fin.cons y s)) f = Polynomial.eval y (Polynomial.map (MvPolynomial.eval s) ((MvPolynomial.finSuccEquiv R n) f))
• Fin.strictMono_cons 📋 Mathlib.Order.Fin.Tuple
  {α : Type u_1} [Preorder α] {n : ℕ} {f : Fin n → α} {a : α} : StrictMono (Fin.cons a f) ↔ (∀ (j : Fin n), a < f j) ∧ StrictMono f
• Fin.liftFun_cons 📋 Mathlib.Order.Fin.Tuple
  {α : Type u_1} {n : ℕ} (r : α → α → Prop) [IsTrans α r] {f : Fin n → α} {a : α} : Relator.LiftFun (fun x1 x2 => x1 < x2) r (Fin.cons a f) (Fin.cons a f) ↔ (∀ (i : Fin n), r a (f i)) ∧ Relator.LiftFun (fun x1 x2 => x1 < x2) r f f
• Fin.strictMono_cons_zero_succ 📋 Mathlib.Order.Fin.Tuple
  {n : ℕ} {f : Fin n → Fin (n + 1)} : StrictMono (Fin.cons 0 f) ↔ f = Fin.succ
• Fin.pi_lex_lt_cons_cons 📋 Mathlib.Order.Fin.Tuple
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Type u_1} {x₀ y₀ : α 0} {x y : (i : Fin n) → α i.succ} (s : {i : Fin n.succ} → α i → α i → Prop) : Pi.Lex (fun x1 x2 => x1 < x2) s (Fin.cons x₀ x) (Fin.cons y₀ y) ↔ s x₀ y₀ ∨ x₀ = y₀ ∧ Pi.Lex (fun x1 x2 => x1 < x2) (fun i => s) x y
• Fin.consOrderIso_apply 📋 Mathlib.Order.Fin.Tuple
  {n : ℕ} (α : Fin (n + 1) → Type u_2) [(i : Fin (n + 1)) → LE (α i)] (f : α 0 × ((i : Fin n) → α i.succ)) (i : Fin (n + 1)) : (Fin.consOrderIso α) f i = Fin.cons f.1 f.2 i
• Fin.cons_apply_cycleRange 📋 Mathlib.GroupTheory.Perm.Fin
  {n : ℕ} {α : Type u_1} (a : α) (x : Fin n → α) (p j : Fin (n + 1)) : Fin.cons a x (p.cycleRange j) = p.insertNth a x j
• Fin.cons_comp_cycleRange 📋 Mathlib.GroupTheory.Perm.Fin
  {n : ℕ} {α : Type u_1} (a : α) (x : Fin n → α) (p : Fin (n + 1)) : Fin.cons a x ∘ ⇑p.cycleRange = p.insertNth a x
• Fin.insertNth_apply_cycleRange_symm 📋 Mathlib.GroupTheory.Perm.Fin
  {n : ℕ} {α : Type u_1} (p : Fin (n + 1)) (a : α) (x : Fin n → α) (j : Fin (n + 1)) : p.insertNth a x ((Equiv.symm p.cycleRange) j) = Fin.cons a x j
• Fin.insertNth_comp_cycleRange_symm 📋 Mathlib.GroupTheory.Perm.Fin
  {n : ℕ} {α : Type u_1} (p : Fin (n + 1)) (a : α) (x : Fin n → α) : p.insertNth a x ∘ ⇑(Equiv.symm p.cycleRange) = Fin.cons a x
• Fin.cons_removeNth_eq_comp_cycleRange_symm 📋 Mathlib.GroupTheory.Perm.Fin
  {n : ℕ} {α : Type u_1} (x : Fin (n + 1) → α) (p : Fin (n + 1)) : Fin.cons (x p) (p.removeNth x) = x ∘ ⇑(Equiv.symm p.cycleRange)
• MultilinearMap.cons_add 📋 Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Basic
  {R : Type uR} {n : ℕ} {M : Fin n.succ → Type v} {M₂ : Type v₂} [Semiring R] [(i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)] [AddCommMonoid M₂] [(i : Fin n.succ) → Module R (M i)] [Module R M₂] (f : MultilinearMap R M M₂) (m : (i : Fin n) → M i.succ) (x y : M 0) : f (Fin.cons (x + y) m) = f (Fin.cons x m) + f (Fin.cons y m)
• MultilinearMap.cons_smul 📋 Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Basic
  {R : Type uR} {n : ℕ} {M : Fin n.succ → Type v} {M₂ : Type v₂} [Semiring R] [(i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)] [AddCommMonoid M₂] [(i : Fin n.succ) → Module R (M i)] [Module R M₂] (f : MultilinearMap R M M₂) (m : (i : Fin n) → M i.succ) (c : R) (x : M 0) : f (Fin.cons (c • x) m) = c • f (Fin.cons x m)
• exists_linearIndependent_cons_of_lt_finrank 📋 Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.RankNullity
  {R : Type u_1} {M : Type u} [Ring R] [AddCommGroup M] [Module R M] [HasRankNullity.{u, u_1} R] [StrongRankCondition R] {n : ℕ} {v : Fin n → M} (hv : LinearIndependent R v) (h : n < Module.finrank R M) : ∃ x, LinearIndependent R (Fin.cons x v)
• exists_linearIndependent_cons_of_lt_rank 📋 Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.RankNullity
  {R : Type u_1} {M : Type u} [Ring R] [AddCommGroup M] [Module R M] [HasRankNullity.{u, u_1} R] [StrongRankCondition R] {n : ℕ} {v : Fin n → M} (hv : LinearIndependent R v) (h : ↑n < Module.rank R M) : ∃ x, LinearIndependent R (Fin.cons x v)
• Continuous.finCons 📋 Mathlib.Topology.Constructions
  {X : Type u} [TopologicalSpace X] {n : ℕ} {A : Fin (n + 1) → Type u_6} [(i : Fin (n + 1)) → TopologicalSpace (A i)] {f : X → A 0} {g : X → (j : Fin n) → A j.succ} (hf : Continuous f) (hg : Continuous g) : Continuous fun a => Fin.cons (f a) (g a)
• ContinuousAt.finCons 📋 Mathlib.Topology.Constructions
  {X : Type u} [TopologicalSpace X] {n : ℕ} {A : Fin (n + 1) → Type u_6} [(i : Fin (n + 1)) → TopologicalSpace (A i)] {f : X → A 0} {g : X → (j : Fin n) → A j.succ} {x : X} (hf : ContinuousAt f x) (hg : ContinuousAt g x) : ContinuousAt (fun a => Fin.cons (f a) (g a)) x
• Filter.Tendsto.finCons 📋 Mathlib.Topology.Constructions
  {Y : Type v} {n : ℕ} {A : Fin (n + 1) → Type u_6} [(i : Fin (n + 1)) → TopologicalSpace (A i)] {f : Y → A 0} {g : Y → (j : Fin n) → A j.succ} {l : Filter Y} {x : A 0} {y : (j : Fin n) → A j.succ} (hf : Filter.Tendsto f l (nhds x)) (hg : Filter.Tendsto g l (nhds y)) : Filter.Tendsto (fun a => Fin.cons (f a) (g a)) l (nhds (Fin.cons x y))
• ContinuousOn.finCons 📋 Mathlib.Topology.ContinuousOn
  {α : Type u_1} [TopologicalSpace α] {n : ℕ} {X : Fin (n + 1) → Type u_5} [(i : Fin (n + 1)) → TopologicalSpace (X i)] {f : α → X 0} {s : Set α} {g : α → (j : Fin n) → X j.succ} (hf : ContinuousOn f s) (hg : ContinuousOn g s) : ContinuousOn (fun a => Fin.cons (f a) (g a)) s
• ContinuousWithinAt.finCons 📋 Mathlib.Topology.ContinuousOn
  {α : Type u_1} [TopologicalSpace α] {n : ℕ} {X : Fin (n + 1) → Type u_5} [(i : Fin (n + 1)) → TopologicalSpace (X i)] {f : α → X 0} {g : α → (j : Fin n) → X j.succ} {a : α} {s : Set α} (hf : ContinuousWithinAt f s a) (hg : ContinuousWithinAt g s a) : ContinuousWithinAt (fun a => Fin.cons (f a) (g a)) s a
• Homeomorph.piFinTwo_symm_apply 📋 Mathlib.Topology.Homeomorph.Lemmas
  (X : Fin 2 → Type u) [(i : Fin 2) → TopologicalSpace (X i)] : ⇑(Homeomorph.piFinTwo X).symm = fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)
• UniformEquiv.piFinTwo_symm_apply 📋 Mathlib.Topology.UniformSpace.Equiv
  (α : Fin 2 → Type u) [(i : Fin 2) → UniformSpace (α i)] : ⇑(UniformEquiv.piFinTwo α).symm = fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)
• MultilinearMap.curryLeft_apply 📋 Mathlib.LinearAlgebra.Multilinear.Curry
  {R : Type uR} {n : ℕ} {M : Fin n.succ → Type v} {M₂ : Type v₂} [CommSemiring R] [(i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)] [AddCommMonoid M₂] [(i : Fin n.succ) → Module R (M i)] [Module R M₂] (f : MultilinearMap R M M₂) (x : M 0) (m : (i : Fin n) → M i.succ) : (f.curryLeft x) m = f (Fin.cons x m)
• Fin.consEquivL_apply 📋 Mathlib.Topology.Algebra.Module.Equiv
  {n : ℕ} (R : Type u_4) (M : Fin n.succ → Type u_5) [Semiring R] [(i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)] [(i : Fin n.succ) → Module R (M i)] [(i : Fin n.succ) → TopologicalSpace (M i)] (a✝ : M 0 × ((i : Fin n) → M i.succ)) (i : Fin (n + 1)) : (Fin.consEquivL R M) a✝ i = Fin.cons a✝.1 a✝.2 i
• ContinuousLinearEquiv.piFinTwo_symm_apply 📋 Mathlib.Topology.Algebra.Module.Equiv
  (R : Type u_2) [Semiring R] (M : Fin 2 → Type u_4) [(i : Fin 2) → AddCommMonoid (M i)] [(i : Fin 2) → Module R (M i)] [(i : Fin 2) → TopologicalSpace (M i)] : ⇑(ContinuousLinearEquiv.piFinTwo R M).symm = fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)
• Matrix.vandermonde_cons 📋 Mathlib.LinearAlgebra.Vandermonde
  {R : Type u_1} [CommRing R] {n : ℕ} (v0 : R) (v : Fin n → R) : Matrix.vandermonde (Fin.cons v0 v) = Fin.cons (fun j => v0 ^ ↑j) fun i => Fin.cons 1 fun j => v i * Matrix.vandermonde v i j
• Matrix.vandermonde_succ 📋 Mathlib.LinearAlgebra.Vandermonde
  {R : Type u_1} [CommRing R] {n : ℕ} (v : Fin n.succ → R) : Matrix.vandermonde v = Matrix.of Fin.cons (fun j => v 0 ^ ↑j) fun i => Fin.cons 1 fun j => v i.succ * Matrix.vandermonde (Fin.tail v) i j
• IsometryEquiv.piFinTwo_symm_apply 📋 Mathlib.Topology.MetricSpace.Isometry
  (α : Fin 2 → Type u_3) [(i : Fin 2) → PseudoEMetricSpace (α i)] (p : α 0 × α 1) (i : Fin (1 + 1)) : (IsometryEquiv.piFinTwo α).symm p i = Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim) i
• MeasurableEquiv.finTwoArrow_symm_apply 📋 Mathlib.MeasureTheory.MeasurableSpace.Embedding
  {α : Type u_1} [MeasurableSpace α] : ⇑MeasurableEquiv.finTwoArrow.symm = fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)
• MeasurableEquiv.piFinTwo_symm_apply 📋 Mathlib.MeasureTheory.MeasurableSpace.Embedding
  (α : Fin 2 → Type u_8) [(i : Fin 2) → MeasurableSpace (α i)] : ⇑(MeasurableEquiv.piFinTwo α).symm = fun p => Fin.cons p.1 (Fin.cons p.2 finZeroElim)
• ContinuousMultilinearMap.cons_add 📋 Mathlib.Topology.Algebra.Module.Multilinear.Basic
  {R : Type u} {n : ℕ} {M : Fin n.succ → Type w} {M₂ : Type w₂} [Semiring R] [(i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)] [AddCommMonoid M₂] [(i : Fin n.succ) → Module R (M i)] [Module R M₂] [(i : Fin n.succ) → TopologicalSpace (M i)] [TopologicalSpace M₂] (f : ContinuousMultilinearMap R M M₂) (m : (i : Fin n) → M i.succ) (x y : M 0) : f (Fin.cons (x + y) m) = f (Fin.cons x m) + f (Fin.cons y m)
• ContinuousMultilinearMap.cons_smul 📋 Mathlib.Topology.Algebra.Module.Multilinear.Basic
  {R : Type u} {n : ℕ} {M : Fin n.succ → Type w} {M₂ : Type w₂} [Semiring R] [(i : Fin n.succ) → AddCommMonoid (M i)] [AddCommMonoid M₂] [(i : Fin n.succ) → Module R (M i)] [Module R M₂] [(i : Fin n.succ) → TopologicalSpace (M i)] [TopologicalSpace M₂] (f : ContinuousMultilinearMap R M M₂) (m : (i : Fin n) → M i.succ) (c : R) (x : M 0) : f (Fin.cons (c • x) m) = c • f (Fin.cons x m)
• Fin.cons_mem_piFinset_cons 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Finset
  {n : ℕ} {α : Fin (n + 1) → Type u_1} {x_zero : α 0} {x_tail : (i : Fin n) → α i.succ} {s_zero : Finset (α 0)} {s_tail : (i : Fin n) → Finset (α i.succ)} : Fin.cons x_zero x_tail ∈ Fintype.piFinset (Fin.cons s_zero s_tail) ↔ x_zero ∈ s_zero ∧ x_tail ∈ Fintype.piFinset s_tail
• ContinuousMultilinearMap.norm_map_cons_le 📋 Mathlib.Analysis.Normed.Module.Multilinear.Curry
  {𝕜 : Type u} {n : ℕ} {Ei : Fin n.succ → Type wEi} {G : Type wG} [NontriviallyNormedField 𝕜] [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)] [NormedAddCommGroup G] [NormedSpace 𝕜 G] (f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G) (x : Ei 0) (m : (i : Fin n) → Ei i.succ) : ‖f (Fin.cons x m)‖ ≤ ‖f‖ * ‖x‖ * ∏ i, ‖m i‖
• ContinuousMultilinearMap.curryLeft_apply 📋 Mathlib.Analysis.Normed.Module.Multilinear.Curry
  {𝕜 : Type u} {n : ℕ} {Ei : Fin n.succ → Type wEi} {G : Type wG} [NontriviallyNormedField 𝕜] [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)] [NormedAddCommGroup G] [NormedSpace 𝕜 G] (f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G) (x : Ei 0) (m : (i : Fin n) → Ei i.succ) : (f.curryLeft x) m = f (Fin.cons x m)
• continuousMultilinearCurryLeftEquiv_apply 📋 Mathlib.Analysis.Normed.Module.Multilinear.Curry
  {𝕜 : Type u} {n : ℕ} {Ei : Fin n.succ → Type wEi} {G : Type wG} [NontriviallyNormedField 𝕜] [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (Ei i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)] [NormedAddCommGroup G] [NormedSpace 𝕜 G] (f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 Ei G) (x : Ei 0) (v : (i : Fin n) → Ei i.succ) : (((continuousMultilinearCurryLeftEquiv 𝕜 Ei G) f) x) v = f (Fin.cons x v)
• Differentiable.finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} (h : Differentiable 𝕜 φ) (hs : Differentiable 𝕜 φs) : Differentiable 𝕜 fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)
• differentiable_finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} : (Differentiable 𝕜 fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) ↔ Differentiable 𝕜 φ ∧ Differentiable 𝕜 φs
• differentiable_finCons' 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} : (Differentiable 𝕜 fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) ↔ Differentiable 𝕜 φ ∧ Differentiable 𝕜 φs
• DifferentiableAt.finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {x : E} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} (h : DifferentiableAt 𝕜 φ x) (hs : DifferentiableAt 𝕜 φs x) : DifferentiableAt 𝕜 (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) x
• DifferentiableOn.finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {s : Set E} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} (h : DifferentiableOn 𝕜 φ s) (hs : DifferentiableOn 𝕜 φs s) : DifferentiableOn 𝕜 (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) s
• differentiableAt_finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {x : E} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} : DifferentiableAt 𝕜 (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 φ x ∧ DifferentiableAt 𝕜 φs x
• differentiableAt_finCons' 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {x : E} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} : DifferentiableAt 𝕜 (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) x ↔ DifferentiableAt 𝕜 φ x ∧ DifferentiableAt 𝕜 φs x
• differentiableOn_finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {s : Set E} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} : DifferentiableOn 𝕜 (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 φ s ∧ DifferentiableOn 𝕜 φs s
• differentiableOn_finCons' 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {s : Set E} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} : DifferentiableOn 𝕜 (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) s ↔ DifferentiableOn 𝕜 φ s ∧ DifferentiableOn 𝕜 φs s
• DifferentiableWithinAt.finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {x : E} {s : Set E} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} (h : DifferentiableWithinAt 𝕜 φ s x) (hs : DifferentiableWithinAt 𝕜 φs s x) : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) s x
• differentiableWithinAt_finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {x : E} {s : Set E} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 φ s x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 φs s x
• differentiableWithinAt_finCons' 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {x : E} {s : Set E} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} : DifferentiableWithinAt 𝕜 (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) s x ↔ DifferentiableWithinAt 𝕜 φ s x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 φs s x
• HasFDerivAt.finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {x : E} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : E →L[𝕜] F' 0} {φs' : E →L[𝕜] (i : Fin n) → F' i.succ} (h : HasFDerivAt φ φ' x) (hs : HasFDerivAt φs φs' x) : HasFDerivAt (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) (φ'.finCons φs') x
• HasStrictFDerivAt.finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {x : E} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : E →L[𝕜] F' 0} {φs' : E →L[𝕜] (i : Fin n) → F' i.succ} (h : HasStrictFDerivAt φ φ' x) (hs : HasStrictFDerivAt φs φs' x) : HasStrictFDerivAt (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) (φ'.finCons φs') x
• hasFDerivAt_finCons' 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {x : E} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : E →L[𝕜] F' 0} {φs' : E →L[𝕜] (i : Fin n) → F' i.succ} : HasFDerivAt (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) (φ'.finCons φs') x ↔ HasFDerivAt φ φ' x ∧ HasFDerivAt φs φs' x
• hasStrictFDerivAt_finCons' 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {x : E} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : E →L[𝕜] F' 0} {φs' : E →L[𝕜] (i : Fin n) → F' i.succ} : HasStrictFDerivAt (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) (φ'.finCons φs') x ↔ HasStrictFDerivAt φ φ' x ∧ HasStrictFDerivAt φs φs' x
• HasFDerivAtFilter.finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : E →L[𝕜] F' 0} {φs' : E →L[𝕜] (i : Fin n) → F' i.succ} {l : Filter (E × E)} (h : HasFDerivAtFilter φ φ' l) (hs : HasFDerivAtFilter φs φs' l) : HasFDerivAtFilter (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) (φ'.finCons φs') l
• hasFDerivAtFilter_finCons' 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : E →L[𝕜] F' 0} {φs' : E →L[𝕜] (i : Fin n) → F' i.succ} {l : Filter (E × E)} : HasFDerivAtFilter (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) (φ'.finCons φs') l ↔ HasFDerivAtFilter φ φ' l ∧ HasFDerivAtFilter φs φs' l
• HasFDerivWithinAt.finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {x : E} {s : Set E} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : E →L[𝕜] F' 0} {φs' : E →L[𝕜] (i : Fin n) → F' i.succ} (h : HasFDerivWithinAt φ φ' s x) (hs : HasFDerivWithinAt φs φs' s x) : HasFDerivWithinAt (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) (φ'.finCons φs') s x
• hasFDerivWithinAt_finCons' 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {x : E} {s : Set E} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : E →L[𝕜] F' 0} {φs' : E →L[𝕜] (i : Fin n) → F' i.succ} : HasFDerivWithinAt (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) (φ'.finCons φs') s x ↔ HasFDerivWithinAt φ φ' s x ∧ HasFDerivWithinAt φs φs' s x
• hasFDerivAt_finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {x : E} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : E →L[𝕜] (i : Fin n.succ) → F' i} : HasFDerivAt (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) φ' x ↔ HasFDerivAt φ (ContinuousLinearMap.proj 0 ∘SL φ') x ∧ HasFDerivAt φs (Pi.compRightL 𝕜 F' Fin.succ ∘SL φ') x
• hasStrictFDerivAt_finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {x : E} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : E →L[𝕜] (i : Fin n.succ) → F' i} : HasStrictFDerivAt (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) φ' x ↔ HasStrictFDerivAt φ (ContinuousLinearMap.proj 0 ∘SL φ') x ∧ HasStrictFDerivAt φs (Pi.compRightL 𝕜 F' Fin.succ ∘SL φ') x
• hasFDerivAtFilter_finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : E →L[𝕜] (i : Fin n.succ) → F' i} {l : Filter (E × E)} : HasFDerivAtFilter (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) φ' l ↔ HasFDerivAtFilter φ (ContinuousLinearMap.proj 0 ∘SL φ') l ∧ HasFDerivAtFilter φs (Pi.compRightL 𝕜 F' Fin.succ ∘SL φ') l
• hasFDerivWithinAt_finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Prod
  {𝕜 : Type u_1} [NontriviallyNormedField 𝕜] {E : Type u_2} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace 𝕜 E] {x : E} {s : Set E} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_6} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : E → F' 0} {φs : E → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : E →L[𝕜] (i : Fin n.succ) → F' i} : HasFDerivWithinAt (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) φ' s x ↔ HasFDerivWithinAt φ (ContinuousLinearMap.proj 0 ∘SL φ') s x ∧ HasFDerivWithinAt φs (Pi.compRightL 𝕜 F' Fin.succ ∘SL φ') s x
• ContinuousAlternatingMap.cons_smul 📋 Mathlib.Topology.Algebra.Module.Alternating.Basic
  {R : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_4} [Semiring R] [AddCommMonoid M] [Module R M] [TopologicalSpace M] [AddCommMonoid N] [Module R N] [TopologicalSpace N] {n : ℕ} (f : M [⋀^Fin (n + 1)]→L[R] N) (m : Fin n → M) (c : R) (x : M) : f (Fin.cons (c • x) m) = c • f (Fin.cons x m)
• ContinuousAlternatingMap.cons_add 📋 Mathlib.Topology.Algebra.Module.Alternating.Basic
  {R : Type u_1} {M : Type u_2} {N : Type u_4} [Semiring R] [AddCommMonoid M] [Module R M] [TopologicalSpace M] [AddCommMonoid N] [Module R N] [TopologicalSpace N] {n : ℕ} (f : M [⋀^Fin (n + 1)]→L[R] N) (m : Fin n → M) (x y : M) : f (Fin.cons (x + y) m) = f (Fin.cons x m) + f (Fin.cons y m)
• OrderedFinpartition.extendLeft_partSize 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.FaaDiBruno
  {n : ℕ} (c : OrderedFinpartition n) : c.extendLeft.partSize = Fin.cons 1 c.partSize
• HasDerivAt.finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Prod
  {𝕜 : Type u} [NontriviallyNormedField 𝕜] {x : 𝕜} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_1} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : 𝕜 → F' 0} {φs : 𝕜 → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : F' 0} {φs' : (i : Fin n) → F' i.succ} (h : HasDerivAt φ φ' x) (hs : HasDerivAt φs φs' x) : HasDerivAt (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) (Fin.cons φ' φs') x
• HasStrictDerivAt.finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Prod
  {𝕜 : Type u} [NontriviallyNormedField 𝕜] {x : 𝕜} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_1} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : 𝕜 → F' 0} {φs : 𝕜 → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : F' 0} {φs' : (i : Fin n) → F' i.succ} (h : HasStrictDerivAt φ φ' x) (hs : HasStrictDerivAt φs φs' x) : HasStrictDerivAt (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) (Fin.cons φ' φs') x
• hasDerivAt_finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Prod
  {𝕜 : Type u} [NontriviallyNormedField 𝕜] {x : 𝕜} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_1} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : 𝕜 → F' 0} {φs : 𝕜 → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : (i : Fin n.succ) → F' i} : HasDerivAt (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) φ' x ↔ HasDerivAt φ (φ' 0) x ∧ HasDerivAt φs (fun i => φ' i.succ) x
• hasStrictDerivAt_finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Prod
  {𝕜 : Type u} [NontriviallyNormedField 𝕜] {x : 𝕜} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_1} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : 𝕜 → F' 0} {φs : 𝕜 → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : (i : Fin n.succ) → F' i} : HasStrictDerivAt (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) φ' x ↔ HasStrictDerivAt φ (φ' 0) x ∧ HasStrictDerivAt φs (fun i => φ' i.succ) x
• hasDerivAt_finCons' 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Prod
  {𝕜 : Type u} [NontriviallyNormedField 𝕜] {x : 𝕜} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_1} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : 𝕜 → F' 0} {φs : 𝕜 → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : F' 0} {φs' : (i : Fin n) → F' i.succ} : HasDerivAt (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) (Fin.cons φ' φs') x ↔ HasDerivAt φ φ' x ∧ HasDerivAt φs φs' x
• hasStrictDerivAt_finCons' 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Prod
  {𝕜 : Type u} [NontriviallyNormedField 𝕜] {x : 𝕜} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_1} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : 𝕜 → F' 0} {φs : 𝕜 → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : F' 0} {φs' : (i : Fin n) → F' i.succ} : HasStrictDerivAt (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) (Fin.cons φ' φs') x ↔ HasStrictDerivAt φ φ' x ∧ HasStrictDerivAt φs φs' x
• HasDerivAtFilter.finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Prod
  {𝕜 : Type u} [NontriviallyNormedField 𝕜] {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_1} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : 𝕜 → F' 0} {φs : 𝕜 → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : F' 0} {φs' : (i : Fin n) → F' i.succ} {l : Filter (𝕜 × 𝕜)} (h : HasDerivAtFilter φ φ' l) (hs : HasDerivAtFilter φs φs' l) : HasDerivAtFilter (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) (Fin.cons φ' φs') l
• hasDerivAtFilter_finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Prod
  {𝕜 : Type u} [NontriviallyNormedField 𝕜] {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_1} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : 𝕜 → F' 0} {φs : 𝕜 → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : (i : Fin n.succ) → F' i} {l : Filter (𝕜 × 𝕜)} : HasDerivAtFilter (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) φ' l ↔ HasDerivAtFilter φ (φ' 0) l ∧ HasDerivAtFilter φs (fun i => φ' i.succ) l
• hasDerivAtFilter_finCons' 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Prod
  {𝕜 : Type u} [NontriviallyNormedField 𝕜] {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_1} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : 𝕜 → F' 0} {φs : 𝕜 → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : F' 0} {φs' : (i : Fin n) → F' i.succ} {l : Filter (𝕜 × 𝕜)} : HasDerivAtFilter (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) (Fin.cons φ' φs') l ↔ HasDerivAtFilter φ φ' l ∧ HasDerivAtFilter φs φs' l
• HasDerivWithinAt.finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Prod
  {𝕜 : Type u} [NontriviallyNormedField 𝕜] {x : 𝕜} {s : Set 𝕜} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_1} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : 𝕜 → F' 0} {φs : 𝕜 → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : F' 0} {φs' : (i : Fin n) → F' i.succ} (h : HasDerivWithinAt φ φ' s x) (hs : HasDerivWithinAt φs φs' s x) : HasDerivWithinAt (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) (Fin.cons φ' φs') s x
• hasDerivWithinAt_finCons 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Prod
  {𝕜 : Type u} [NontriviallyNormedField 𝕜] {x : 𝕜} {s : Set 𝕜} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_1} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : 𝕜 → F' 0} {φs : 𝕜 → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : (i : Fin n.succ) → F' i} : HasDerivWithinAt (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) φ' s x ↔ HasDerivWithinAt φ (φ' 0) s x ∧ HasDerivWithinAt φs (fun i => φ' i.succ) s x
• hasDerivWithinAt_finCons' 📋 Mathlib.Analysis.Calculus.Deriv.Prod
  {𝕜 : Type u} [NontriviallyNormedField 𝕜] {x : 𝕜} {s : Set 𝕜} {n : ℕ} {F' : Fin n.succ → Type u_1} [(i : Fin n.succ) → NormedAddCommGroup (F' i)] [(i : Fin n.succ) → NormedSpace 𝕜 (F' i)] {φ : 𝕜 → F' 0} {φs : 𝕜 → (i : Fin n) → F' i.succ} {φ' : F' 0} {φs' : (i : Fin n) → F' i.succ} : HasDerivWithinAt (fun x => Fin.cons (φ x) (φs x)) (Fin.cons φ' φs') s x ↔ HasDerivWithinAt φ φ' s x ∧ HasDerivWithinAt φs φs' s x
• Function.FromTypes.uncurry_apply_cons 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Curry
  {n : ℕ} {α : Type u} {p : Fin n → Type u} {τ : Type u} (f : Function.FromTypes (Matrix.vecCons α p) τ) (a : α) (args : (i : Fin n) → p i) : f.uncurry (Fin.cons a args) = (f a).uncurry args
• Function.FromTypes.curry_apply_succ 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Curry
  {n : ℕ} {p : Fin (n + 1) → Type u} {τ : Type u} (f : ((i : Fin (n + 1)) → p i) → τ) (a : p 0) : Function.FromTypes.curry f a = Function.FromTypes.curry (f ∘ Fin.cons a)
• Function.FromTypes.curry_apply_cons 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Curry
  {n : ℕ} {α : Type u} {p : Fin n → Type u} {τ : Type u} (f : ((i : Fin (n + 1)) → Matrix.vecCons α p i) → τ) (a : α) : Function.FromTypes.curry f a = Function.FromTypes.curry ((fun {x} => f) ∘' Fin.cons a)
• Fin.Embedding.coe_cons 📋 Mathlib.Data.Fin.Tuple.Embedding
  {α : Type u_1} {n : ℕ} (x : Fin n ↪ α) {a : α} (ha : a ∉ Set.range ⇑x) : ⇑(Fin.Embedding.cons x ha) = Fin.cons a ⇑x
• FirstOrder.Language.Formula.realize_graph 📋 Mathlib.ModelTheory.Semantics
  {L : FirstOrder.Language} {M : Type w} [L.Structure M] {n : ℕ} {f : L.Functions n} {x : Fin n → M} {y : M} : (FirstOrder.Language.Formula.graph f).Realize (Fin.cons y x) ↔ FirstOrder.Language.Structure.funMap f x = y
• torusIntegral_succ 📋 Mathlib.MeasureTheory.Integral.TorusIntegral
  {n : ℕ} {E : Type u_1} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℂ E] {f : (Fin (n + 1) → ℂ) → E} {c : Fin (n + 1) → ℂ} {R : Fin (n + 1) → ℝ} (hf : TorusIntegrable f c R) : (∯ (x : Fin (n + 1) → ℂ) in T(c, R), f x) = ∮ (x : ℂ) in C(c 0, R 0), ∯ (y : Fin n → ℂ) in T(c ∘ Fin.succ, R ∘ Fin.succ), f (Fin.cons x y)

About

Loogle searches Lean and Mathlib definitions and theorems.

You can use Loogle from within the Lean4 VSCode language extension using the Loogle command from the command palette. You can also try the #loogle command from LeanSearchClient, the CLI version, the Loogle VS Code extension, the lean.nvim integration or the Zulip bot.

Usage

Loogle finds definitions and lemmas in various ways:

1. By constant:
   🔍 Real.sin
   finds all lemmas whose statement somehow mentions the sine function.

2. By lemma name substring:
   🔍 "differ"
   finds all lemmas that have "differ" somewhere in their lemma name.

3. By subexpression:
   🔍 _ * (_ ^ _)
   finds all lemmas whose statements somewhere include a product where the second argument is raised to some power.

   The pattern can also be non-linear, as in
   🔍 Real.sqrt ?a * Real.sqrt ?a

   If the pattern has parameters, they are matched in any order. Both of these will find List.map:
   🔍 (?a -> ?b) -> List ?a -> List ?b
   🔍 List ?a -> (?a -> ?b) -> List ?b

4. By main conclusion:
   🔍 |- tsum _ = _ * tsum _
   finds all lemmas where the conclusion (the subexpression to the right of all → and ∀) has the given shape.

   As before, if the pattern has parameters, they are matched against the hypotheses of the lemma in any order; for example,
   🔍 |- _ < _ → tsum _ < tsum _
   will find tsum_lt_tsum even though the hypothesis f i < g i is not the last.

5. You can filter for definitions vs theorems: Using ⊢ (_ : Type _) finds all definitions which provide data while ⊢ (_ : Prop) finds all theorems (and definitions of proofs).

If you pass more than one such search filter, separated by commas Loogle will return lemmas which match all of them. The search
🔍 Real.sin, "two", tsum, _ * _, _ ^ _, |- _ < _ → _
would find all lemmas which mention the constants Real.sin and tsum, have "two" as a substring of the lemma name, include a product and a power somewhere in the type, and have a hypothesis of the form _ < _ (if there were any such lemmas). Metavariables (?a) are assigned independently in each filter.

The #lucky button will directly send you to the documentation of the first hit.

Source code

You can find the source code for this service at https://github.com/nomeata/loogle. The https://loogle.lean-lang.org/ service is provided by the Lean FRO. Please review the Lean FRO Terms of Use and Privacy Policy.

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