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Found 261 declarations mentioning PFun. Of these, only the first 200 are shown.

• PFun 📋 Mathlib.Data.PFun
  (α : Type u_1) (β : Type u_2) : Type (max u_1 u_2)
• PFun.id 📋 Mathlib.Data.PFun
  (α : Type u_7) : α →. α
• PFun.monad 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} : Monad (PFun α)
• PFun.inhabited 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} : Inhabited (α →. β)
• PFun.lawfulMonad 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} : LawfulMonad (PFun α)
• PFun.pure 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (x : β) : α →. β
• PFun.Dom 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) : Set α
• PFun.lift 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) : α →. β
• PFun.ran 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) : Set β
• PFun.coe 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} : Coe (α → β) (α →. β)
• PFun.graph' 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) : SetRel α β
• PFun.core 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (s : Set β) : Set α
• PFun.graph 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) : Set (α × β)
• PFun.image 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (s : Set α) : Set β
• PFun.preimage 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (s : Set β) : Set α
• PFun.res 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) (s : Set α) : α →. β
• PFun.fix 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β ⊕ α) : α →. β
• PFun.lift_injective 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} : Function.Injective PFun.lift
• PFun.map 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : β → γ) (g : α →. β) : α →. γ
• PFun.toSubtype 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (p : β → Prop) (f : α → β) : α →. Subtype p
• PFun.asSubtype 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (s : ↑f.Dom) : β
• PFun.coe_id 📋 Mathlib.Data.PFun
  (α : Type u_7) : ↑id = PFun.id α
• PFun.comp 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : β →. γ) (g : α →. β) : α →. γ
• PFun.bind 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : α →. β) (g : β → α →. γ) : α →. γ
• PFun.prodLift 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : α →. β) (g : α →. γ) : α →. β × γ
• PFun.equivSubtype 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} : (α →. β) ≃ (p : α → Prop) × (Subtype p → β)
• PFun.comp_id 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) : f.comp (PFun.id α) = f
• PFun.id_comp 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) : (PFun.id β).comp f = f
• PFun.prodMap 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {δ : Type u_4} (f : α →. γ) (g : β →. δ) : α × β →. γ × δ
• PFun.fn 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (a : α) : a ∈ f.Dom → β
• PFun.preimage_univ 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) : f.preimage Set.univ = f.Dom
• PFun.res_univ 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α → β) : PFun.res f Set.univ = ↑f
• PFun.restrict 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) {p : Set α} (H : p ⊆ f.Dom) : α →. β
• PFun.preimage_subset_dom 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (s : Set β) : f.preimage s ⊆ f.Dom
• PFun.evalOpt 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) [D : DecidablePred fun x => x ∈ f.Dom] (x : α) : Option β
• PFun.preimage_subset_core 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (s : Set β) : f.preimage s ⊆ f.core s
• PFun.prodMap_id_id 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} : (PFun.id α).prodMap (PFun.id β) = PFun.id (α × β)
• PFun.comp_apply 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : β →. γ) (g : α →. β) (a : α) : f.comp g a = (g a).bind f
• PFun.compl_dom_subset_core 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (s : Set β) : f.Domᶜ ⊆ f.core s
• PFun.dom_eq 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) : f.Dom = {x | ∃ y, y ∈ f x}
• PFun.dom_of_mem_fix 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α →. β ⊕ α} {a : α} {b : β} (h : b ∈ f.fix a) : (f a).Dom
• PFun.fn_apply 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (a : α) : f.fn a = (f a).get
• PFun.dom_comp 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : β →. γ) (g : α →. β) : (f.comp g).Dom = g.preimage f.Dom
• PFun.preimage_eq 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (s : Set β) : f.preimage s = f.core s ∩ f.Dom
• PFun.bind_apply 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : α →. β) (g : β → α →. γ) (a : α) : f.bind g a = (f a).bind fun b => g b a
• PFun.mem_dom 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (x : α) : x ∈ f.Dom ↔ ∃ y, y ∈ f x
• PFun.core_mono 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) {s t : Set β} (h : s ⊆ t) : f.core s ⊆ f.core t
• PFun.image_mono 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) {s t : Set α} (h : s ⊆ t) : f.image s ⊆ f.image t
• PFun.preimage_mono 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) {s t : Set β} (h : s ⊆ t) : f.preimage s ⊆ f.preimage t
• PFun.coe_comp 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (g : β → γ) (f : α → β) : ↑(g ∘ f) = (↑g).comp ↑f
• PFun.preimage_comp 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : β →. γ) (g : α →. β) (s : Set γ) : (f.comp g).preimage s = g.preimage (f.preimage s)
• PFun.Part.bind_comp 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : β →. γ) (g : α →. β) (a : Part α) : a.bind (f.comp g) = (a.bind g).bind f
• PFun.core_eq 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (s : Set β) : f.core s = f.preimage s ∪ f.Domᶜ
• PFun.dom_prodLift 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : α →. β) (g : α →. γ) : (f.prodLift g).Dom = {x | (f x).Dom ∧ (g x).Dom}
• PFun.ext 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f g : α →. β} (H : ∀ (a : α) (b : β), b ∈ f a ↔ b ∈ g a) : f = g
• PFun.core_def 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (s : Set β) : f.core s = {x | ∀ y ∈ f x, y ∈ s}
• PFun.ext_iff 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f g : α →. β} : f = g ↔ ∀ (a : α) (b : β), b ∈ f a ↔ b ∈ g a
• PFun.core_inter 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (s t : Set β) : f.core (s ∩ t) = f.core s ∩ f.core t
• PFun.image_union 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (s t : Set α) : f.image (s ∪ t) = f.image s ∪ f.image t
• PFun.preimage_union 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (s t : Set β) : f.preimage (s ∪ t) = f.preimage s ∪ f.preimage t
• PFun.Preimage_def 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (s : Set β) : f.preimage s = {x | ∃ y ∈ s, y ∈ f x}
• PFun.comp_assoc 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {δ : Type u_4} (f : γ →. δ) (g : β →. γ) (h : α →. β) : (f.comp g).comp h = f.comp (g.comp h)
• PFun.fix_stop 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α →. β ⊕ α} {b : β} {a : α} (hb : Sum.inl b ∈ f a) : b ∈ f.fix a
• PFun.image_def 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (s : Set α) : f.image s = {y | ∃ x ∈ s, y ∈ f x}
• PFun.mem_core 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (x : α) (s : Set β) : x ∈ f.core s ↔ ∀ y ∈ f x, y ∈ s
• PFun.fix_fwd_eq 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α →. β ⊕ α} {a a' : α} (ha' : Sum.inr a' ∈ f a) : f.fix a = f.fix a'
• PFun.image_inter 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (s t : Set α) : f.image (s ∩ t) ⊆ f.image s ∩ f.image t
• PFun.preimage_inter 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (s t : Set β) : f.preimage (s ∩ t) ⊆ f.preimage s ∩ f.preimage t
• PFun.dom_iff_graph 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (x : α) : x ∈ f.Dom ↔ ∃ y, (x, y) ∈ f.graph
• PFun.mem_image 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (y : β) (s : Set α) : y ∈ f.image s ↔ ∃ x ∈ s, y ∈ f x
• PFun.mem_preimage 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (s : Set β) (x : α) : x ∈ f.preimage s ↔ ∃ y ∈ s, y ∈ f x
• PFun.asSubtype_eq_of_mem 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α →. β} {x : α} {y : β} (fxy : y ∈ f x) (domx : x ∈ f.Dom) : f.asSubtype ⟨x, domx⟩ = y
• PFun.dom_prodMap 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {δ : Type u_4} (f : α →. γ) (g : β →. δ) : (f.prodMap g).Dom = {x | (f x.1).Dom ∧ (g x.2).Dom}
• PFun.fix_fwd 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α →. β ⊕ α} {b : β} {a a' : α} (hb : b ∈ f.fix a) (ha' : Sum.inr a' ∈ f a) : b ∈ f.fix a'
• PFun.mem_restrict 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α →. β} {s : Set α} (h : s ⊆ f.Dom) (a : α) (b : β) : b ∈ f.restrict h a ↔ a ∈ s ∧ b ∈ f a
• PFun.bind_defined 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_7} {β γ : Type u_8} (p : Set α) {f : α →. β} {g : β → α →. γ} (H1 : p ⊆ f.Dom) (H2 : ∀ (x : β), p ⊆ (g x).Dom) : p ⊆ (f >>= g).Dom
• PFun.mem_prodLift 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {f : α →. β} {g : α →. γ} {x : α} {y : β × γ} : y ∈ f.prodLift g x ↔ y.1 ∈ f x ∧ y.2 ∈ g x
• PFun.fixInduction 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {C : α → Sort u_7} {f : α →. β ⊕ α} {b : β} {a : α} (h : b ∈ f.fix a) (H : (a' : α) → b ∈ f.fix a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a') : C a
• PFun.prodLift_fst_comp_snd_comp 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {δ : Type u_4} (f : α →. γ) (g : β →. δ) : (f.comp ↑Prod.fst).prodLift (g.comp ↑Prod.snd) = f.prodMap g
• PFun.preimage_asSubtype 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} (f : α →. β) (s : Set β) : f.asSubtype ⁻¹' s = Subtype.val ⁻¹' f.preimage s
• PFun.prodMap_comp_comp 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {δ : Type u_4} {ε : Type u_5} {ι : Type u_6} (f₁ : α →. β) (f₂ : β →. γ) (g₁ : δ →. ε) (g₂ : ε →. ι) : (f₂.comp f₁).prodMap (g₂.comp g₁) = (f₂.prodMap g₂).comp (f₁.prodMap g₁)
• PFun.get_prodLift 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : α →. β) (g : α →. γ) (x : α) (h : (f.prodLift g x).Dom) : (f.prodLift g x).get h = ((f x).get ⋯, (g x).get ⋯)
• PFun.mem_prodMap 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {δ : Type u_4} {f : α →. γ} {g : β →. δ} {x : α × β} {y : γ × δ} : y ∈ f.prodMap g x ↔ y.1 ∈ f x.1 ∧ y.2 ∈ g x.2
• PFun.ext' 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f g : α →. β} (H1 : ∀ (a : α), a ∈ f.Dom ↔ a ∈ g.Dom) (H2 : ∀ (a : α) (p : a ∈ f.Dom) (q : a ∈ g.Dom), f.fn a p = g.fn a q) : f = g
• PFun.mem_fix_iff 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {f : α →. β ⊕ α} {a : α} {b : β} : b ∈ f.fix a ↔ Sum.inl b ∈ f a ∨ ∃ a', Sum.inr a' ∈ f a ∧ b ∈ f.fix a'
• PFun.prodLift_apply 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} (f : α →. β) (g : α →. γ) (x : α) : f.prodLift g x = { Dom := (f x).Dom ∧ (g x).Dom, get := fun h => ((f x).get ⋯, (g x).get ⋯) }
• PFun.fixInduction' 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {C : α → Sort u_7} {f : α →. β ⊕ α} {b : β} {a : α} (h : b ∈ f.fix a) (hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final) (hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀) : C a
• PFun.get_prodMap 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {δ : Type u_4} (f : α →. γ) (g : β →. δ) (x : α × β) (h : (f.prodMap g x).Dom) : (f.prodMap g x).get h = ((f x.1).get ⋯, (g x.2).get ⋯)
• PFun.prodMap_apply 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {δ : Type u_4} (f : α →. γ) (g : β →. δ) (x : α × β) : f.prodMap g x = { Dom := (f x.1).Dom ∧ (g x.2).Dom, get := fun h => ((f x.1).get ⋯, (g x.2).get ⋯) }
• PFun.fixInduction_spec 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {C : α → Sort u_7} {f : α →. β ⊕ α} {b : β} {a : α} (h : b ∈ f.fix a) (H : (a' : α) → b ∈ f.fix a' → ((a'' : α) → Sum.inr a'' ∈ f a' → C a'') → C a') : PFun.fixInduction h H = H a h fun x h' => PFun.fixInduction ⋯ H
• PFun.fixInduction'_stop 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {C : α → Sort u_7} {f : α →. β ⊕ α} {b : β} {a : α} (h : b ∈ f.fix a) (fa : Sum.inl b ∈ f a) (hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final) (hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀) : PFun.fixInduction' h hbase hind = hbase a fa
• PFun.fixInduction'_fwd 📋 Mathlib.Data.PFun
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {C : α → Sort u_7} {f : α →. β ⊕ α} {b : β} {a a' : α} (h : b ∈ f.fix a) (h' : b ∈ f.fix a') (fa : Sum.inr a' ∈ f a) (hbase : (a_final : α) → Sum.inl b ∈ f a_final → C a_final) (hind : (a₀ a₁ : α) → b ∈ f.fix a₁ → Sum.inr a₁ ∈ f a₀ → C a₁ → C a₀) : PFun.fixInduction' h hbase hind = hind a a' h' fa (PFun.fixInduction' h' hbase hind)
• Nat.Partrec 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  : (ℕ →. ℕ) → Prop
• Nat.rfind 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  (p : ℕ →. Bool) : Part ℕ
• Partrec 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} {σ : Type u_2} [Primcodable α] [Primcodable σ] (f : α →. σ) : Prop
• Partrec₂ 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {σ : Type u_3} [Primcodable α] [Primcodable β] [Primcodable σ] (f : α → β →. σ) : Prop
• Partrec.nat_iff 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {f : ℕ →. ℕ} : Partrec f ↔ Nat.Partrec f
• Nat.Partrec.of_eq 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {f g : ℕ →. ℕ} (hf : Nat.Partrec f) (H : ∀ (n : ℕ), f n = g n) : Nat.Partrec g
• Nat.Partrec.zero 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  : Nat.Partrec (pure 0)
• Nat.rfind_zero_none 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  (p : ℕ →. Bool) (p0 : p 0 = Part.none) : Nat.rfind p = Part.none
• Nat.rfind_spec 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {p : ℕ →. Bool} {n : ℕ} (h : n ∈ Nat.rfind p) : true ∈ p n
• Nat.Partrec.comp 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {f g : ℕ →. ℕ} : Nat.Partrec f → Nat.Partrec g → Nat.Partrec fun n => g n >>= f
• Nat.Partrec.of_eq_tot 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {f : ℕ →. ℕ} {g : ℕ → ℕ} (hf : Nat.Partrec f) (H : ∀ (n : ℕ), g n ∈ f n) : Nat.Partrec ↑g
• Partrec₂.unpaired' 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {f : ℕ → ℕ →. ℕ} : Nat.Partrec (Nat.unpaired f) ↔ Partrec₂ f
• Nat.rfind_min 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {p : ℕ →. Bool} {n : ℕ} (h : n ∈ Nat.rfind p) {m : ℕ} : m < n → false ∈ p m
• Partrec.rfind 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} [Primcodable α] {p : α → ℕ →. Bool} (hp : Partrec₂ p) : Partrec fun a => Nat.rfind (p a)
• Nat.rfind_dom 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {p : ℕ →. Bool} : (Nat.rfind p).Dom ↔ ∃ n, true ∈ p n ∧ ∀ {m : ℕ}, m < n → (p m).Dom
• Nat.rfind_dom' 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {p : ℕ →. Bool} : (Nat.rfind p).Dom ↔ ∃ n, true ∈ p n ∧ ∀ {m : ℕ}, m ≤ n → (p m).Dom
• Partrec₂.unpaired 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} [Primcodable α] {f : ℕ → ℕ →. α} : Partrec (Nat.unpaired f) ↔ Partrec₂ f
• Partrec.fix 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} {σ : Type u_4} [Primcodable α] [Primcodable σ] {f : α →. σ ⊕ α} (hf : Partrec f) : Partrec f.fix
• Partrec.of_eq 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} {σ : Type u_3} [Primcodable α] [Primcodable σ] {f g : α →. σ} (hf : Partrec f) (H : ∀ (n : α), f n = g n) : Partrec g
• Partrec.option_some_iff 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} {σ : Type u_4} [Primcodable α] [Primcodable σ] {f : α →. σ} : (Partrec fun a => Part.map some (f a)) ↔ Partrec f
• Partrec.map_encode_iff 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} {σ : Type u_3} [Primcodable α] [Primcodable σ] {f : α →. σ} : (Partrec fun a => Part.map Encodable.encode (f a)) ↔ Partrec f
• Partrec.of_eq_tot 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} {σ : Type u_3} [Primcodable α] [Primcodable σ] {f : α →. σ} {g : α → σ} (hf : Partrec f) (H : ∀ (n : α), g n ∈ f n) : Computable g
• Partrec.comp 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {σ : Type u_3} [Primcodable α] [Primcodable β] [Primcodable σ] {f : β →. σ} {g : α → β} (hf : Partrec f) (hg : Computable g) : Partrec fun a => f (g a)
• Nat.Partrec.pair 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {f g : ℕ →. ℕ} : Nat.Partrec f → Nat.Partrec g → Nat.Partrec fun n => Nat.pair <$> f n <*> g n
• Nat.mem_rfind 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {p : ℕ →. Bool} {n : ℕ} : n ∈ Nat.rfind p ↔ true ∈ p n ∧ ∀ {m : ℕ}, m < n → false ∈ p m
• Nat.Partrec.rfind 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {f : ℕ →. ℕ} : Nat.Partrec f → Nat.Partrec fun a => Nat.rfind fun n => (fun m => decide (m = 0)) <$> f (Nat.pair a n)
• Partrec.bind_decode₂_iff 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} {σ : Type u_2} [Primcodable α] [Primcodable σ] {f : α →. σ} : Partrec f ↔ Nat.Partrec fun n => (↑(Encodable.decode₂ α n)).bind fun a => Part.map Encodable.encode (f a)
• Partrec.to₂ 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {σ : Type u_3} [Primcodable α] [Primcodable β] [Primcodable σ] {f : α × β →. σ} (hf : Partrec f) : Partrec₂ fun a b => f (a, b)
• Nat.Partrec.prec 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {f g : ℕ →. ℕ} : Nat.Partrec f → Nat.Partrec g → Nat.Partrec (Nat.unpaired fun a n => Nat.rec (f a) (fun y IH => do let i ← IH g (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n)
• Partrec.map 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {σ : Type u_3} [Primcodable α] [Primcodable β] [Primcodable σ] {f : α →. β} {g : α → β → σ} (hf : Partrec f) (hg : Computable₂ g) : Partrec fun a => Part.map (g a) (f a)
• Partrec.vector_mOfFn 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} {σ : Type u_2} [Primcodable α] [Primcodable σ] {n : ℕ} {f : Fin n → α →. σ} : (∀ (i : Fin n), Partrec (f i)) → Partrec fun a => List.Vector.mOfFn fun i => f i a
• Partrec.bind 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {σ : Type u_3} [Primcodable α] [Primcodable β] [Primcodable σ] {f : α →. β} {g : α → β →. σ} (hf : Partrec f) (hg : Partrec₂ g) : Partrec fun a => (f a).bind (g a)
• Nat.Partrec.prec' 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {f g h : ℕ →. ℕ} (hf : Nat.Partrec f) (hg : Nat.Partrec g) (hh : Nat.Partrec h) : Nat.Partrec fun a => (f a).bind fun n => Nat.rec (g a) (fun y IH => do let i ← IH h (Nat.pair a (Nat.pair y i))) n
• Partrec₂.comp 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {σ : Type u_5} [Primcodable α] [Primcodable β] [Primcodable γ] [Primcodable σ] {f : β → γ →. σ} {g : α → β} {h : α → γ} (hf : Partrec₂ f) (hg : Computable g) (hh : Computable h) : Partrec fun a => f (g a) (h a)
• Nat.rfindX 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  (p : ℕ →. Bool) (H : ∃ n, true ∈ p n ∧ ∀ k < n, (p k).Dom) : { n // true ∈ p n ∧ ∀ m < n, false ∈ p m }
• Partrec.nat_casesOn_right 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} {σ : Type u_2} [Primcodable α] [Primcodable σ] {f : α → ℕ} {g : α → σ} {h : α → ℕ →. σ} (hf : Computable f) (hg : Computable g) (hh : Partrec₂ h) : Partrec fun a => Nat.casesOn (f a) (Part.some (g a)) (h a)
• Partrec.optionCasesOn_right 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {σ : Type u_4} [Primcodable α] [Primcodable β] [Primcodable σ] {o : α → Option β} {f : α → σ} {g : α → β →. σ} (ho : Computable o) (hf : Computable f) (hg : Partrec₂ g) : Partrec fun a => Option.casesOn (o a) (Part.some (f a)) (g a)
• Partrec₂.comp₂ 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {δ : Type u_4} {σ : Type u_5} [Primcodable α] [Primcodable β] [Primcodable γ] [Primcodable δ] [Primcodable σ] {f : γ → δ →. σ} {g : α → β → γ} {h : α → β → δ} (hf : Partrec₂ f) (hg : Computable₂ g) (hh : Computable₂ h) : Partrec₂ fun a b => f (g a b) (h a b)
• Partrec.sumCasesOn_left 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {σ : Type u_4} [Primcodable α] [Primcodable β] [Primcodable γ] [Primcodable σ] {f : α → β ⊕ γ} {g : α → β →. σ} {h : α → γ → σ} (hf : Computable f) (hg : Partrec₂ g) (hh : Computable₂ h) : Partrec fun a => Sum.casesOn (f a) (g a) fun c => Part.some (h a c)
• Partrec.sumCasesOn_right 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {σ : Type u_4} [Primcodable α] [Primcodable β] [Primcodable γ] [Primcodable σ] {f : α → β ⊕ γ} {g : α → β → σ} {h : α → γ →. σ} (hf : Computable f) (hg : Computable₂ g) (hh : Partrec₂ h) : Partrec fun a => Sum.casesOn (f a) (fun b => Part.some (g a b)) (h a)
• Partrec.nat_rec 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_1} {σ : Type u_3} [Primcodable α] [Primcodable σ] {f : α → ℕ} {g : α →. σ} {h : α → ℕ × σ →. σ} (hf : Computable f) (hg : Partrec g) (hh : Partrec₂ h) : Partrec fun a => Nat.rec (g a) (fun y IH => IH.bind fun i => h a (y, i)) (f a)
• Partrec.fix_aux 📋 Mathlib.Computability.Partrec
  {α : Type u_5} {σ : Type u_6} (f : α →. σ ⊕ α) (a : α) (b : σ) : have F := fun a n => Nat.rec (Part.some (Sum.inr a)) (fun x IH => IH.bind fun s => Sum.casesOn s (fun x => Part.some s) f) n; (∃ n, ((∃ b', Sum.inl b' ∈ F a n) ∧ ∀ {m : ℕ}, m < n → ∃ b, Sum.inr b ∈ F a m) ∧ Sum.inl b ∈ F a n) ↔ b ∈ f.fix a
• Nat.Partrec.Code.eval 📋 Mathlib.Computability.PartrecCode
  : Nat.Partrec.Code → ℕ →. ℕ
• Nat.Partrec.Code.instMembershipPFun 📋 Mathlib.Computability.PartrecCode
  : Membership (ℕ →. ℕ) Nat.Partrec.Code
• Nat.Partrec.Code.exists_code 📋 Mathlib.Computability.PartrecCode
  {f : ℕ →. ℕ} : Nat.Partrec f ↔ ∃ c, c.eval = f
• Nat.Partrec.Code.instCountableSubtypePFunPartrec 📋 Mathlib.Computability.PartrecCode
  : Countable { f // Partrec f }
• Nat.Partrec.Code.fixed_point 📋 Mathlib.Computability.PartrecCode
  {f : Nat.Partrec.Code → Nat.Partrec.Code} (hf : Computable f) : ∃ c, (f c).eval = c.eval
• Nat.Partrec.Code.fixed_point₂ 📋 Mathlib.Computability.PartrecCode
  {f : Nat.Partrec.Code → ℕ →. ℕ} (hf : Partrec₂ f) : ∃ c, c.eval = f c
• Nat.Partrec.rfind' 📋 Mathlib.Computability.PartrecCode
  {f : ℕ →. ℕ} (hf : Nat.Partrec f) : Nat.Partrec (Nat.unpaired fun a m => Part.map (fun x => x + m) (Nat.rfind fun n => (fun m => decide (m = 0)) <$> f (Nat.pair a (n + m))))
• Partrec.dom_re 📋 Mathlib.Computability.RE
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} [Primcodable α] [Primcodable β] {f : α →. β} (h : Partrec f) : REPred fun a => (f a).Dom
• Partrec.cond 📋 Mathlib.Computability.RE
  {α : Type u_1} {σ : Type u_4} [Primcodable α] [Primcodable σ] {c : α → Bool} {f g : α →. σ} (hc : Computable c) (hf : Partrec f) (hg : Partrec g) : Partrec fun a => bif c a then f a else g a
• Nat.Partrec.merge' 📋 Mathlib.Computability.RE
  {f g : ℕ →. ℕ} (hf : Nat.Partrec f) (hg : Nat.Partrec g) : ∃ h, Nat.Partrec h ∧ ∀ (a : ℕ), (∀ x ∈ h a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((h a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
• Partrec.sumCasesOn 📋 Mathlib.Computability.RE
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {γ : Type u_3} {σ : Type u_4} [Primcodable α] [Primcodable β] [Primcodable γ] [Primcodable σ] {f : α → β ⊕ γ} {g : α → β →. σ} {h : α → γ →. σ} (hf : Computable f) (hg : Partrec₂ g) (hh : Partrec₂ h) : Partrec fun a => Sum.casesOn (f a) (g a) (h a)
• Partrec.merge' 📋 Mathlib.Computability.RE
  {α : Type u_1} {σ : Type u_4} [Primcodable α] [Primcodable σ] {f g : α →. σ} (hf : Partrec f) (hg : Partrec g) : ∃ k, Partrec k ∧ ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
• Partrec.merge 📋 Mathlib.Computability.RE
  {α : Type u_1} {σ : Type u_4} [Primcodable α] [Primcodable σ] {f g : α →. σ} (hf : Partrec f) (hg : Partrec g) (H : ∀ (a : α), ∀ x ∈ f a, ∀ y ∈ g a, x = y) : ∃ k, Partrec k ∧ ∀ (a : α) (x : σ), x ∈ k a ↔ x ∈ f a ∨ x ∈ g a
• ComputablePred.rice₂ 📋 Mathlib.Computability.Halting
  (C : Set Nat.Partrec.Code) (H : ∀ (cf cg : Nat.Partrec.Code), cf.eval = cg.eval → (cf ∈ C ↔ cg ∈ C)) : (ComputablePred fun c => c ∈ C) ↔ C = ∅ ∨ C = Set.univ
• ComputablePred.rice 📋 Mathlib.Computability.Halting
  (C : Set (ℕ →. ℕ)) (h : ComputablePred fun c => c.eval ∈ C) {f g : ℕ →. ℕ} (hf : Nat.Partrec f) (hg : Nat.Partrec g) (fC : f ∈ C) : g ∈ C
• Nat.Partrec' 📋 Mathlib.Computability.PartrecBasis
  {n : ℕ} : (List.Vector ℕ n →. ℕ) → Prop
• Nat.Partrec'.tail 📋 Mathlib.Computability.PartrecBasis
  {n : ℕ} {f : List.Vector ℕ n →. ℕ} (hf : Nat.Partrec' f) : Nat.Partrec' fun v => f v.tail
• Nat.Partrec'.of_part 📋 Mathlib.Computability.PartrecBasis
  {n : ℕ} {f : List.Vector ℕ n →. ℕ} : Partrec f → Nat.Partrec' f
• Nat.Partrec'.to_part 📋 Mathlib.Computability.PartrecBasis
  {n : ℕ} {f : List.Vector ℕ n →. ℕ} (pf : Nat.Partrec' f) : Partrec f
• Nat.Partrec'.part_iff 📋 Mathlib.Computability.PartrecBasis
  {n : ℕ} {f : List.Vector ℕ n →. ℕ} : Nat.Partrec' f ↔ Partrec f
• Nat.Partrec'.of_eq 📋 Mathlib.Computability.PartrecBasis
  {n : ℕ} {f g : List.Vector ℕ n →. ℕ} (hf : Nat.Partrec' f) (H : ∀ (i : List.Vector ℕ n), f i = g i) : Nat.Partrec' g
• Nat.Partrec'.comp' 📋 Mathlib.Computability.PartrecBasis
  {n m : ℕ} {f : List.Vector ℕ m →. ℕ} {g : List.Vector ℕ n → List.Vector ℕ m} (hf : Nat.Partrec' f) (hg : Nat.Partrec'.Vec g) : Nat.Partrec' fun v => f (g v)
• Nat.Partrec'.part_iff₁ 📋 Mathlib.Computability.PartrecBasis
  {f : ℕ →. ℕ} : (Nat.Partrec' fun v => f v.head) ↔ Partrec f
• Nat.Partrec'.comp₁ 📋 Mathlib.Computability.PartrecBasis
  {n : ℕ} (f : ℕ →. ℕ) {g : List.Vector ℕ n → ℕ} (hf : Nat.Partrec' fun v => f v.head) (hg : Nat.Partrec' ↑g) : Nat.Partrec' fun v => f (g v)
• Nat.Partrec'.comp 📋 Mathlib.Computability.PartrecBasis
  {m n : ℕ} {f : List.Vector ℕ n →. ℕ} (g : Fin n → List.Vector ℕ m →. ℕ) : Nat.Partrec' f → (∀ (i : Fin n), Nat.Partrec' (g i)) → Nat.Partrec' fun v => (List.Vector.mOfFn fun i => g i v) >>= f
• Nat.Partrec'.part_iff₂ 📋 Mathlib.Computability.PartrecBasis
  {f : ℕ → ℕ →. ℕ} : (Nat.Partrec' fun v => f v.head v.tail.head) ↔ Partrec₂ f
• Nat.Partrec'.bind 📋 Mathlib.Computability.PartrecBasis
  {n : ℕ} {f : List.Vector ℕ n →. ℕ} {g : List.Vector ℕ (n + 1) →. ℕ} (hf : Nat.Partrec' f) (hg : Nat.Partrec' g) : Nat.Partrec' fun v => (f v).bind fun a => g (a ::ᵥ v)
• Nat.Partrec'.map 📋 Mathlib.Computability.PartrecBasis
  {n : ℕ} {f : List.Vector ℕ n →. ℕ} {g : List.Vector ℕ (n + 1) → ℕ} (hf : Nat.Partrec' f) (hg : Nat.Partrec' ↑g) : Nat.Partrec' fun v => Part.map (fun a => g (a ::ᵥ v)) (f v)
• Nat.RecursiveIn 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  (O : Set (ℕ →. ℕ)) : (ℕ →. ℕ) → Prop
• Nat.RecursiveIn.succ 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {O : Set (ℕ →. ℕ)} : Nat.RecursiveIn O ↑Nat.succ
• Nat.Partrec.recursiveIn 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {f : ℕ →. ℕ} {O : Set (ℕ →. ℕ)} (pF : Nat.Partrec f) : Nat.RecursiveIn O f
• ComputableIn 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_4} {σ : Type u_5} [Primcodable α] [Primcodable σ] (O : Set (ℕ →. ℕ)) (f : α → σ) : Prop
• RecursiveIn 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_4} {σ : Type u_5} [Primcodable α] [Primcodable σ] (O : Set (ℕ →. ℕ)) (f : α →. σ) : Prop
• ComputableIn.id 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_1} [Primcodable α] {O : Set (ℕ →. ℕ)} : ComputableIn O id
• ComputableIn.succ 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {O : Set (ℕ →. ℕ)} : ComputableIn O Nat.succ
• RecursiveIn.some 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_1} [Primcodable α] {O : Set (ℕ →. ℕ)} : RecursiveIn O Part.some
• Nat.RecursiveIn.left 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {O : Set (ℕ →. ℕ)} : Nat.RecursiveIn O fun n => ↑(some (Nat.unpair n).1)
• Nat.RecursiveIn.right 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {O : Set (ℕ →. ℕ)} : Nat.RecursiveIn O fun n => ↑(some (Nat.unpair n).2)
• ComputableIn₂ 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_4} {β : Type u_5} {σ : Type u_6} [Primcodable α] [Primcodable β] [Primcodable σ] (O : Set (ℕ →. ℕ)) (f : α → β → σ) : Prop
• Nat.Primrec.recursiveIn 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {O : Set (ℕ →. ℕ)} {f : ℕ → ℕ} (hf : Nat.Primrec f) : Nat.RecursiveIn O fun n => ↑(some (f n))
• RecursiveIn₂ 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_4} {β : Type u_5} {σ : Type u_6} [Primcodable α] [Primcodable β] [Primcodable σ] (O : Set (ℕ →. ℕ)) (f : α → β →. σ) : Prop
• ComputableIn.const 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_1} {σ : Type u_3} [Primcodable α] [Primcodable σ] {O : Set (ℕ →. ℕ)} (s : σ) : ComputableIn O fun x => s
• RecursiveIn.none 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_1} {σ : Type u_3} [Primcodable α] [Primcodable σ] {O : Set (ℕ →. ℕ)} : RecursiveIn O fun x => Part.none
• Nat.RecursiveIn.zero 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {O : Set (ℕ →. ℕ)} : Nat.RecursiveIn O fun x => 0
• RecursiveIn.iff_nat 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {f : ℕ →. ℕ} {O : Set (ℕ →. ℕ)} : RecursiveIn O f ↔ Nat.RecursiveIn O f
• ComputableIn.unpair 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {O : Set (ℕ →. ℕ)} : ComputableIn O Nat.unpair
• Nat.RecursiveIn.of_eq 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {f g : ℕ →. ℕ} {O : Set (ℕ →. ℕ)} (hf : Nat.RecursiveIn O f) (H : ∀ (n : ℕ), f n = g n) : Nat.RecursiveIn O g
• Nat.RecursiveIn.oracle 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {O : Set (ℕ →. ℕ)} (g : ℕ →. ℕ) : g ∈ O → Nat.RecursiveIn O g
• Computable.computableIn 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} [Primcodable α] [Primcodable β] {f : α → β} {O : Set (ℕ →. ℕ)} (hf : Computable f) : ComputableIn O f
• ComputableIn.fst 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} [Primcodable α] [Primcodable β] {O : Set (ℕ →. ℕ)} : ComputableIn O Prod.fst
• ComputableIn.snd 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} [Primcodable α] [Primcodable β] {O : Set (ℕ →. ℕ)} : ComputableIn O Prod.snd
• ComputableIn.sumInl 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} [Primcodable α] [Primcodable β] {O : Set (ℕ →. ℕ)} : ComputableIn O Sum.inl
• ComputableIn.sumInr 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} [Primcodable α] [Primcodable β] {O : Set (ℕ →. ℕ)} : ComputableIn O Sum.inr
• Primrec.computableIn 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_1} {σ : Type u_3} [Primcodable α] [Primcodable σ] {f : α → σ} {O : Set (ℕ →. ℕ)} (hf : Primrec f) : ComputableIn O f
• Partrec.recursiveIn 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_1} {σ : Type u_3} [Primcodable α] [Primcodable σ] {f : α →. σ} {O : Set (ℕ →. ℕ)} (hf : Partrec f) : RecursiveIn O f
• Nat.RecursiveIn.comp 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {O : Set (ℕ →. ℕ)} {f h : ℕ →. ℕ} (hf : Nat.RecursiveIn O f) (hh : Nat.RecursiveIn O h) : Nat.RecursiveIn O fun n => h n >>= f
• Nat.RecursiveIn.of_eq_tot 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {f : ℕ →. ℕ} {g : ℕ → ℕ} {O : Set (ℕ →. ℕ)} (hf : Nat.RecursiveIn O f) (H : ∀ (n : ℕ), g n ∈ f n) : Nat.RecursiveIn O ↑g
• ComputableIn.recursiveIn 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_1} {σ : Type u_3} [Primcodable α] [Primcodable σ] {f : α → σ} {O : Set (ℕ →. ℕ)} (hf : ComputableIn O f) : RecursiveIn O fun a => Part.some (f a)
• recursiveIn_empty_iff 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_1} {σ : Type u_3} [Primcodable α] [Primcodable σ] {f : α →. σ} : RecursiveIn ∅ f ↔ Partrec f
• Nat.RecursiveIn.partrec_of_oracle 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {f : ℕ →. ℕ} {O : Set (ℕ →. ℕ)} (hO : ∀ g ∈ O, Nat.Partrec g) (hf : Nat.RecursiveIn O f) : Nat.Partrec f
• RecursiveIn.oracle 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {O : Set (ℕ →. ℕ)} (g : ℕ →. ℕ) : g ∈ O → RecursiveIn O g
• Primrec₂.computableIn₂ 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_1} {β : Type u_2} {σ : Type u_3} [Primcodable α] [Primcodable β] [Primcodable σ] {f : α → β → σ} {O : Set (ℕ →. ℕ)} (hf : Primrec₂ f) : ComputableIn₂ O f
• RecursiveIn.partrec_of_const 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_1} {σ : Type u_3} [Primcodable α] [Primcodable σ] {f : α →. σ} {s : Part ℕ} (hf : RecursiveIn {fun x => s} f) : Partrec f
• Nat.RecursiveIn.subst 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {O O' : Set (ℕ →. ℕ)} {f : ℕ →. ℕ} (hf : Nat.RecursiveIn O f) (hO : ∀ g ∈ O, Nat.RecursiveIn O' g) : Nat.RecursiveIn O' f
• partrec_iff_forall_recursiveIn_singleton 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_1} {σ : Type u_3} [Primcodable α] [Primcodable σ] {f : α →. σ} : Partrec f ↔ ∀ (g : ℕ →. ℕ), RecursiveIn {g} f
• RecursiveIn.of_eq 📋 Mathlib.Computability.RecursiveIn
  {α : Type u_1} {σ : Type u_3} [Primcodable α] [Primcodable σ] {O : Set (ℕ →. ℕ)} {f g : α →. σ} (hf : RecursiveIn O f) (H : ∀ (x : α), f x = g x) : RecursiveIn O g

About

Loogle searches Lean and Mathlib definitions and theorems.

You can use Loogle from within the Lean4 VSCode language extension using the Loogle command from the command palette. You can also try the #loogle command from LeanSearchClient, the CLI version, the Loogle VS Code extension, the lean.nvim integration or the Zulip bot.

Usage

Loogle finds definitions and lemmas in various ways:

1. By constant:
   🔍 Real.sin
   finds all lemmas whose statement somehow mentions the sine function.

2. By lemma name substring:
   🔍 "differ"
   finds all lemmas that have "differ" somewhere in their lemma name.

3. By subexpression:
   🔍 _ * (_ ^ _)
   finds all lemmas whose statements somewhere include a product where the second argument is raised to some power.

   The pattern can also be non-linear, as in
   🔍 Real.sqrt ?a * Real.sqrt ?a

   If the pattern has parameters, they are matched in any order. Both of these will find List.map:
   🔍 (?a -> ?b) -> List ?a -> List ?b
   🔍 List ?a -> (?a -> ?b) -> List ?b

4. By main conclusion:
   🔍 |- tsum _ = _ * tsum _
   finds all lemmas where the conclusion (the subexpression to the right of all → and ∀) has the given shape.

   As before, if the pattern has parameters, they are matched against the hypotheses of the lemma in any order; for example,
   🔍 |- _ < _ → tsum _ < tsum _
   will find tsum_lt_tsum even though the hypothesis f i < g i is not the last.

5. You can filter for definitions vs theorems: Using ⊢ (_ : Type _) finds all definitions which provide data while ⊢ (_ : Prop) finds all theorems (and definitions of proofs).

If you pass more than one such search filter, separated by commas Loogle will return lemmas which match all of them. The search
🔍 Real.sin, "two", tsum, _ * _, _ ^ _, |- _ < _ → _
would find all lemmas which mention the constants Real.sin and tsum, have "two" as a substring of the lemma name, include a product and a power somewhere in the type, and have a hypothesis of the form _ < _ (if there were any such lemmas). Metavariables (?a) are assigned independently in each filter.

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Source code

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